다변량확률변수(multivariate random variable)와 말단 확률변수(marginal random variable)의 관계
다변량확률변수(multivariate random variable)와 말단 확률변수(marginal random variable)의 관계
다변량확률변수를 다루면서 우리는 이를 이루고 있는 각각의 말단 확률변수 (marginal random variable) 만으로는 전체 다변량확률변수를 100% 설명할 수 없다.
왜 각각의 말단 확률분포만으로는 전체 다변량확률변수 전체를 100% 설명할 수 없는지 쉽게 풀어서 설명합니다.
다변량확률변수란?
- 정의: 여러 개의 확률변수가 한꺼번에 모여 이루는 확률변수 집합을 의미합니다.
- 예시: (키, 체중), (주가1, 주가2, 환율), (수입, 지출, 저축) 등
- 특징: 각 변수들은 개별적으로 분포를 가질 수도 있고, 서로 간에 *관계(상관, 의존성)*가 있을 수 있습니다.
- 예를 들어, 키가 큰 사람이 대체로 체중도 클 가능성이 있는 것처럼 말이죠.
Marginal Random Variable(말단 확률변수)이란?
- 다변량확률변수에서 어떤 한 변수만 떼어서 볼 때 그걸 marginal random variable(말단 확률변수)라고 부릅니다.
- 예: (키, 체중)라는 쌍이 있을 때, 키만 따로 보거나 체중만 따로 보는 것
전체 다변량확률변수를 “말단분포(marginal distributions)”만으로 설명 불가능한 이유
- 각각의 말단 확률분포는 각각의 변수만의 특성만 담고 있습니다.
- 즉, 키의 분포, 체중의 분포는 “누가 더 큰가, 평균이 얼마냐” 등 변수 각각의 그림만 알려줍니다.
- 하지만, 두 변수 사이에 실제로 존재할 수 있는 상관관계, 의존구조(같이 커지는가/작아지는가/아예 상관없나?) 등은 오로지 “말단분포들”만으로는 알 수 없습니다.
예시:
- A: 키와 체중이 전혀 무관한 집단
- B: 키가 클수록 체중도 확실히 큰 집단
두 집단 모두 “키만 따로” 혹은 “체중만 따로” 보면 말단분포는 똑같아도, 같이 볼 때 구조가 완전히 다름!
즉, 다변량확률변수의 진짜 모습(=두 변수 이상이 어떻게 연결·상관되어 있는지)은 말단 확률 변수마다의 개별 특성만 봐서는 절대 알 수 없고, 전체 결합분포(joint distribution)와 그 속의 “의존 구조”까지 함께 봐야 진정한 다차원의 특성을 파악할 수 있습니다.
요약 정리
다변량확률변수란, 여러 변수들이 함께 움직이는 복잡한 그림이고, 각자 따로따로 본 모습(말단분포)만으론 이 ‘함께 움직임’을 절대 온전히 설명 못한다!
그래서 코풀라 같은 모델, 혹은 결합분포(joint distribution) 개념이 필요한 것입니다.
전체 결합분포(joint distribution)와 그 속의 “의존 구조”라는 개념을 쉽게 이해할 수 있도록 설명해 드리겠습니다.
질문에 제시된 주요 키워드(코풀라 모델, 전체 결합분포, 의존 구조)를 하나씩 차분하게 설명하겠습니다.
1. 전체 결합분포(Joint Distribution)이란?
- 정의: 여러 확률변수(예: X, Y, Z 등)가 동시에 어떤 값을 가질 ‘확률’을 모두 한꺼번에 다루는 분포입니다.
- 예: 키와 몸무게의 결합분포는 “키=170cm, 몸무게=70kg일 확률은 얼마?”처럼 두 변수가 동시에 가질 값들에 대해 확률을 주는 것.
- 의미: 각각의 변수의 분포, 그리고 변수들 간의 상호작용(“키가 크면 몸무게도 클 확률이 높다” 같이)을 함께 포함합니다.
- 여러 확률변수들이 동시에 어떤 값들을 가질 확률을 나타내는 분포입니다.
- 예: 키(X)와 체중(Y)가 동시에 특정 값(x, y)을 가질 확률을 보여줌.
- 전체 다변량 확률 데이터를 완벽하게 설명하는 분포로, 이 분포를 알면 변수들이 어떻게 연관되어 있는지 모든 정보를 알 수 있습니다.
- 말단 분포(marginal distribution)는 이 결합분포에서 특정 변수만 따로 떼어 본 것일 뿐입니다.
2. “의존 구조(Dependence Structure)”란?
- 정의: 변수들 사이에 존재하는 ‘관계’ 혹은 ‘상관성’을 의미합니다.
- 한 변수가 커질 때 다른 변수도 커지는지(양의 상관), 하나가 커질 때 다른 건 작아지는지(음의 상관), 또는 아무 관계도 없는지(독립) 등을 포함합니다.
- 중요성: 의존 구조가 같더라도 말단(각각의) 분포는 다를 수 있고, 말단 분포가 같더라도 의존 구조가 완전히 다를 수 있습니다.
- 예: 키와 체중의 결합관계는 그냥 독립(무관)일 수도, 강하게 연결되어 있을 수도, 또는 이상하게 꼬리에서만 연결될 수도 있습니다.
- 다변량 확률변수에서 변수들 간의 관계, 즉 어떤 변수들이 서로 얼마나 그리고 어떻게 연관되어 움직이는지를 뜻합니다.
- 예: 키가 크면 체중도 클 가능성이 높은가? (양의 상관성)
- 또는 극단적인 상황에서 두 변수 모두 동시에 매우 큰 값을 취할 확률이 높은가? (꼬리 의존성 등)
- 의존 구조는 단순히 말단 분포만 봐서는 파악 불가능하고, 변수들의 관계 전체를 기술하는 결합분포 내에 숨겨져 있습니다.
3. 코풀라(Copula)란?
- 정의: 각 변수의 개별 분포(마진분포)는 그대로 두고, 변수들 사이의 ‘의존 구조’를 별도의 함수(코풀라 함수)로 분리해서 표현하는 모델입니다.
- 역할: 코풀라를 사용하면
- 개별 변수마다 제각각의 분포(정규, 지수, 기타 등등)를 자유롭게 줄 수 있고,
- 그 변수들 사이의 연결·상관관계는 코풀라 함수가 따로 잡아줍니다.
- 장점: 코풀라 덕분에 복잡한 다변량 시스템에서
- 개별 변수의 특성과,
- 변수들 간의 연결 구조(함께 커지거나, 꼬리에서만 같이 변하거나 등)
를 분리해서 조작할 수 있습니다. - 즉, “이 변수들은 이렇게 연결시켜보자”하면서 결합분포를 유연하게 만들 수 있습니다.
통합적으로 이해하면
- 다변량 확률변수에서 진짜 중요한 건, 단순히 각각의 분포가 아니라 ‘얘네들이 어떻게 묶여 있는가’(의존 구조, joint distribution 전체)입니다.
- 코풀라는 이 결합구조(특히 복잡한 의존성)를 더 유연하게 설계할 수 있도록 해주는 강력한 도구입니다.
- 단순히 각 변수만 보면 놓칠 수 있는, ‘변수들이 함께 나타나는 방식의 다양성(상관, 꼬리의존성 등)’을 코풀라로 제대로 파악할 수 있습니다.
즉, “다차원의 특성”을 제대로 보려면
- 개별 분포 + 의존 구조 + 전체 결합분포
이 셋을 모두 함께 고려해야 하고, - 코풀라는 그 과정에서 ‘의존 구조’에 대한 유연한 모델링을 가능하게 해주는 핵심 도구라고 할 수 있습니다.
왜 함께 봐야 할까?
- 말단 분포만 보면 “각각의 변수” 분포 특성만 알게 돼서 변수들이 서로 어떻게 상호작용하는지 모름.
- 전체 결합분포와 그 안의 의존 구조를 보면, 변수들이 함께 움직이는 ‘진짜 패턴’을 볼 수 있음.
- 이런 의존 구조를 정확히 알아야 다변량 데이터 분석, 위험 평가, 예측, 시뮬레이션을 제대로 할 수 있음.
예를 들어 설명하면
- 전체 결합분포는 “여러명의 친구들이 모인 사진 전체”와 같고,
- 각각의 말단 분포는 “사진 속 한 사람 한 사람의 얼굴 사진”이라고 보면 됩니다.
사진 속 한 사람만 보면 그 모임의 전체 분위기, 사람들 간의 관계를 알기 어렵죠? 전체 사진과 사람들 간 연결관계를 같이 봐야 그 모임의 분위기와 관계를 잘 이해할 수 있는 것과 같습니다.
따라서, 진정한 다차원의 특성을 이해하려면 ‘전체 결합분포’와 ‘그 안의 의존 구조’를 반드시 함께 고려해야 합니다.